اثبات فرمول برایند و تفاضل بردار ها

**skyzare** · 27-04-2013, 20:24

با سلام .

اساتید این فرمول تفاضل و جمع دو بردار که به صورت زیر هست چه جوری قابل اثبات هست ؟

$\\A+B=R=\sqrt[2]{A^2+B^2+2ABcos\: \theta }\\\\\\ A-B=R=\sqrt[2]{A^2+B^2-2ABcos\: \theta }$

**تبلیغات** · 27-04-2013 20:24

**Hamid** · 27-04-2013, 21:46

نوشته اصلی توسط skyzare

با سلام .

اساتید این فرمول تفاضل و جمع دو بردار که به صورت زیر هست چه جوری قابل اثبات هست ؟

$\\A+B=R=\sqrt[2]{A^2+B^2+2ABcos\: \theta }\\\\\\ A-B=R=\sqrt[2]{A^2+B^2-2ABcos\: \theta }$

سلام.

خیلی ساده با استفاده از تعریف ضرب داخلی:

$|\vec{A}+\vec{B}|^{2}=(\vec{A}+\vec{B}).(\vec{A}+\vec{B})=\vec{A}.\vec{A}+2\vec{A}.\vec{B}+\vec{B}.\vec{B}=|A|^{2}+|B|^{2}+2|A||B|\cos \theta$

برای تفاضل هم به همین ترتیب ...

موفق باشین.
92/2/7

**skyzare** · 27-04-2013, 23:55

نوشته اصلی توسط Hamid

سلام.

خیلی ساده با استفاده از تعریف ضرب داخلی:

$|\vec{A}+\vec{B}|^{2}=(\vec{A}+\vec{B}).(\vec{A}+\vec{B})=\vec{A}.\vec{A}+2\vec{A}.\vec{B}+\vec{B}.\vec{B}=|A|^{2}+|B|^{2}+2|A||B|\cos \theta$

برای تفاضل هم به همین ترتیب ...

موفق باشین.
92/2/7

با سلام .

با تشکر از پاسخ شما .

خوب این هم خودش یه رابطه هست . منظورم این هست که میخواستم از راه بردار ها به دست بیارم . البته خودم جواب رو پیدا کردم .

{محتواي مخفي}

$\\\vec{A}=A_xi+A_yj\\\\ \vec{B}=B_xi+B_yj\\\\ \theta _A=angle\: \: \: of\: \: \: A\: \: \: vector\: \: \: from\: \: \: source\\\\\\ \theta _B=angle\: \: \: of\: \: \: A\: \: \: vector\: \: \: from\: \: \: source$

$\\A_x=\left | \vec{A} \right |cos\: \theta _A\\\\ A_y=\left | \vec{A} \right |sin\: \theta _A\\\\ B_x=\left | \vec{B} \right |cos\: \theta _B\\\\ B_y=\left | \vec{B} \right |cos\: \theta _B$

$\\\vec{A}+\vec{B}=\vec{R}=\sqrt[2]{\left (A_x+B_x \right )^2+\left (A_y+B_y \right )^2}\\\\\\ \vec{R}=\sqrt[2]{ ( \left |A \right |cos\theta_A+ \left |B \right |cos\theta_B )^2+ ( \left |A \right |sin\theta_A+ \left |B \right |sin\theta_B )^2}$

عبارن زیر رادیکال رو به توان می رسونیم این جوری میشه :

$\\|A|^2cos^2\left (\theta_A \right )+|B|^2cos^2\left (\theta_B \right )+2|A|\: |B|\: cos\left (\theta _A \right ) cos\left (\theta _B \right )+|A|^2sin^2\left (\theta_A \right )+\\\\|B|^2sin^2\left (\theta_B \right )+2|A|\: |B|\: sin\left (\theta _A \right ) sin\left (\theta _B \right )$

حالا از عبارات مشابه فاکتور می گیریم :

$|A|^2\left ( \: \: cos^2\left (\theta_A \right )+sin^2\left (\theta_A \right )\: \: \right )+|B|^2\left ( \: \: cos^2\left (\theta_B \right )+sin^2\left (\theta_B \right )\: \: \right )+2|A|\: |B|\:\left (cos\left (\theta _A \right ) cos\left (\theta _B \right )+sin\left (\theta _A \right ) sin\left (\theta _B \right ) \right )$

از طرفی می دونیم که :

${\color{Magenta} 2|A|\: |B|\:\left (cos\left (\theta _A \right ) cos\left (\theta _B \right )+sin\left (\theta _A \right ) sin \left (\theta _B \right ) \right )}=2|A||B|cos(\theta _A-\theta _B)=2|A||B|cos(\phi )$

اون فی در واقع تفاضل زاویه های بردار های A و B نسبت به جهت مثبت محور x هست . که به عبارتی میشه همون زاویه بین دو بردار A و B .
هم چنین :

$cos^2\theta_A +sin^2\theta_A=1\: \: \: \:\: \: \: \: \: \: cos^2\theta_B +sin^2\theta_B=1$

این دو معادل رو توی اون عبارتی که فاکتور گرفتیم میزاریم به جواب می رسیم .

**nimaiiimj_007** · 01-10-2013, 23:20

میشه از راه دستگاه دکارتی هم اثبات کنیدش؟

موضوع: اثبات فرمول برایند و تفاضل بردار ها

ابزارهای موضوع

نحوه نمایش موضوع

اثبات فرمول برایند و تفاضل بردار ها

اطلاعات موضوع

کاربرانی که در حال مشاهده این موضوع هستند

مجوز های ارسال و ویرایش